Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是偶函数，试求a的值；
（Ⅱ）求证：无论a取任何实数，函数f（x）都不可能是奇函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化简整理，得ax=0在R上恒成立，（3分）
∴a=0．（5分）
（Ⅱ）证明：用反证法．假设存在实数a，使函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x）在R上恒成立，∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0，与f（0）=0矛盾．
矛盾说明，假设是错误的，所以无论a取任何实数，函数f（x）不可能是奇函数．
分析：（I）根据偶函数的定义建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，从而求出a的值即可；
（II）利用反证法进行证明，先假设存在实数a，使函数f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）在R上恒成立，求出f（0）=0，但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0，与f（0）=0矛盾．从而矛盾说明，假设是错误的，最后肯定结论．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及反证法的思想，同时考查了计算的能力，属于综合题．