Question

（2010•广东模拟）已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值是多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然数M，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），知y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，则y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．由{x_n}为等比数列，知{y_n}为等差数列．由y₃=18，y₆=12，得S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．数列{y_n}的前多少项和最大和相应的最大值是多少．
（2）由y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，知x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，由此能够导出当0＜a＜1时，存在M=12，当n＞M时，x_n＞1恒成立．

解答：解：（1）∵数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，
则y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．
∵{x_n}为等比数列，
∴

xn+1

xn

为定值．
∴{y_n}为等差数列．
∵y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=12-18，
∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．
∴当n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132．
（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，
∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，
当a＞1时，12-n＞0，n＜12；
当0＜a＜1时，12-n＜0，n＞12．
综上所述，当0＜a＜1时，存在最小的自然数M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．