Question

甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
（I）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望；
（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

Answer 1

【答案】分析：对于（I）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望，因为随机抽出3道题进行测试，故甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，然后分别求出每种取值的概率，即可得到分布列，由分布列和期望公式求得期望即可．
对于（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率，可以设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，分别求出事件A、B的概率．然后根据相互独立事件的概率乘法公式求得两人都不入选的概率．题目求至少一人入选，可以用1减去两人都不入选的概率即可．
解答：解：（I）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
∴ξ的分布列为

甲答对试题数ξ的数学期望为
（II）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则，
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
故甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为．
点评：此题主要考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，其中涉及到相互独立事件概率乘法公式的应用问题，题目涵盖知识点多有一定的技巧性，属于中档题目．