Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角．

Answer 1

分析：（I）欲证PB⊥DM，可先证PB⊥平面ADMN，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PB与平面ADMN内两相交直线垂直，而AN⊥PB，AD⊥PB，满足定理条件；
（II）取AD的中点G，连接BG、NG，得到 BG∥CD，从而BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，根据线面所成角的定义可知∠BGN是BG与平面ADMN所成的角，在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可．

解答：解：（I）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB．
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN．
因为DM?平面ADMN，
所以PB⊥DM．
（II）取AD的中点G，连接BG、NG，
则BG∥CD，
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，sin∠BGN=

BN

BG

=

10

5

．
故CD与平面ADMN所成的角是arcsin

10

5

．

点评：本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力．