Question

已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1．求证：a+b+c≥

3

．

Answer 1

分析：由题意可得，只需证（a+b+c）²≥3，只需证a²+b²+c²≥1，只需证a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，只需证
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0．

解答：证明：要证原不等式成立，只需证（a+b+c）²≥3，即证a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a²+b²+c²≥1，即a²+b²+c²-1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0显然成立，
故原不等式成立．

点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．