Question

已知x、y∈R，命题p为x＞y，命题q为x+sinycosx＞y+sinxcosy．则命题p成立是命题q成立的（　　）

• A、充分非必要条件
• B、必要非充分条件
• C、充要条件
• D、非充分非必要条件

Answer 1

分析：结合三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：不等式x+sinycosx＞y+sinxcosy
等价为（x-y）-（sinxcosy-sinycosx）＞0
即（x-y）-sin（x-y）＞0
∴sin（x-y）＜x-y
设x-y=t，则当x＞y时，t＞0，
且sint＜t，
设g（t）=sint-t，
则g'（t）=cost-1≤0，
∴g（t）=sint-t单调递减．
∵g（0）=0，
∴当t＞0时，g（t）＜g（0）=0，
即sint＜t成立
∴x+sinycosx＞y+sinxcosy成立．
先看充分性：已知x＞y，由上面推导过程可知sin（x-y）＜x-y，p成立是q成立的充分条件．
再看必要性：已知sin（x-y）＜x-y，则x＞y，p成立是q成立的必要条件
综上，命题p成立是命题q成立的充要条件．
故选：C．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，三角函数的两角和与差的公式，构造函数g（t）=sint-t利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强．