Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别在线段AB₁，BC₁上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（　　）
①AA₁⊥MN
②异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°
③四面体B₁-D₁CA的体积为

1

3

④A₁C⊥AB₁，A₁C⊥BC₁．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF
由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥MN，因此可得①正确；
对于②，连结B₁D₁、AD₁，可得∠B₁AD₁就是异面直线AB₁，BC₁所成的角
∵△B₁AD₁是等边三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°，得到②正确；
对于③，四面体B₁-D₁CA的体积为
V=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC=1-4×

1

6

=

1

3

，得到③正确；
对于④，根据A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，得到A₁B₁⊥BC₁，
由正方形BB₁C₁C中证出B₁C⊥BC₁，所以BC₁⊥平面A₁B₁C，
结合A₁C?平面A₁B₁C，得A₁C⊥BC₁，同理可证出A₁C⊥AB₁，从而得到④正确
综上所述，四个命题都是真命题
故选：D