Question

下列命题是真命题的序号为：             
①定义域为R的函数，对都有，则为偶函数
②定义在R上的函数，若对，都有，则函数的图像关于中心对称
③函数的定义域为R，若与都是奇函数，则是奇函数
③函数的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。
⑤若函数有两不同极值点，若，且，则关于的方程的不同实根个数必有三个.

Answer 1

③④⑤

试题分析：：①若f（x-1）为偶函数，则f（-x-1）=f（x-1），所以①错误．
②因为为常数，为常数，所以y=f（x）的图象关于（-2，1）中心对称，所以②错误．③若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4，所以f（x+1949）=f（x+1）为奇函数，所以③正确．④由f（x）=ax³+bx²+cx+d得f（x）-d=ax³+bx²+cx为奇函数，此时函数关于原点对称，所以函数f（x）=ax³+bx²+cx+d关于（0，d）对称，而（0，d）一定在函数f（x）图象上，所以④正确．⑤导数f′（x）=3ax²+2bx+c，由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有两个根，
f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意图象：如图有三个交点，故有3个不同实根．所以⑤正确．故答案为：③④⑤