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14.(1)解不等式:${log_a}(1-\frac{1}{1+x})>0$
(2)已知函数$y={log_a}({a^x}-a+2)$(a>0,且a≠1)的值域是R,求a的取值范围.

分析 (1)利用对数的定义域、性质、运算法则,根据0<a<1和a>1两种情况进行分类,能求出不等式${log_a}(1-\frac{1}{1+x})>0$的解集.
(2)要使函数$y={log_a}({a^x}-a+2)$(a>0,且a≠1)的值域是R,就要使ax-a+2取到所有正数,由此利用指数函数和对数函数的性质和运算法则能求出结果.

解答 解:(1)∵${log_a}(1-\frac{1}{1+x})>0$,
∴当0<a<1时,$\left\{\begin{array}{l}{1+x≠0}\\{1-\frac{1}{1+x}>0}\\{1-\frac{1}{1+x}<1}\end{array}\right.$,解得x>0;
当a>1时,$\left\{\begin{array}{l}{1+x≠0}\\{1-\frac{1}{1+x}>0}\\{1-\frac{1}{1+x}>1}\end{array}\right.$,解得x<-1.
∴当0<a<1时,不等式${log_a}(1-\frac{1}{1+x})>0$的解集为{x|x>0};
当a>1时,不等式${log_a}(1-\frac{1}{1+x})>0$的解集为{x|x<-1}.
(2)要使函数$y={log_a}({a^x}-a+2)$(a>0,且a≠1)的值域是R,就要使ax-a+2取到所有正数,
∵ax>0,∴要使ax-a+2取到所有正数,必有-a+2≤0
解得a≥2.
∴a的取值范围是[2,+∞).

点评 本题考查不等式的解法和实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用.

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