Question

动点P与两个定点A（-6，0），B（6，0）连线的斜率之积为-

1

3

，P点轨迹为C，
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过M（-2，2）与C交于E，G两点，且线段EG中点是M，求l方程．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，利用动点P与两个定点A（-6，0），B（6，0）连线的斜率之积为-

1

3

，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．
（2）设出E，G的坐标，利用点差法，求出EG的斜率，即可求出l方程．

解答：解：（1）设P（x，y），则x≠±6．
∵A（-6，0）、B（6，0），
∴k_PA=

y

x+6

，k_PB=

y

x-6

，
∵动点P与两个定点A（-6，0），B（6，0）连线的斜率之积为-

1

3

，
∴

y

x+6

•

y

x-6

=-

1

3

，
化简得

x2

36

+

y2

12

=1（x≠±6）；
（2）设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），则

x12 36 + y12 12 =1 x22 36 + y22 12 =1 x1+x2=-4 y1+y2=4

，
∴

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，即EG的斜率等于

1

3

，
∴直线l方程为y-2=

1

3

（x+2），即x-3y+8=0．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．