Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanαx（0≤a＜π，α ），抛物线C： （t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2 ， l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1：y=tanαx（0≤a＜π，α ）， ∴直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线，
其极坐标方程为θ=α（ ），
抛物线C的普通方程为y2=4x，
其极坐标方程为（ρsinθ）2=4ρcosθ，
化简得ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0，
把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA= ，
可知直线l2的极坐标方程为 ，（ρ∈R），
代入ρsin2θ=4cosθ，得ρBcos2α=﹣4sinα，
所以ρB=﹣ ，
= = ≥16，
∴△OAB的面积的最小值为16．
【解析】（Ⅰ）直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线，抛物线C的普通方程为y2=4x，由此能求出直线l1和抛物线C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0，把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA= ，直线l2的极坐标方程为 ，（ρ∈R），代入ρsin2θ=4cosθ，求出ρB=﹣ ，由此能求出△OAB的面积的最小值．