Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=$\sqrt{3}$．
（I）证明：PB∥平面AEC；
（II）求二面角P-CD-B的大小；
（Ⅲ）设三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC、BD相交于G，连接EG．由三角形中位线定理可得EG∥PB，再由线面平行的判定得PB∥平面AEC；
（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，结合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，求解直角三角形得答案；
（Ⅲ）由已知求得AB，再由等积法求得A到平面PBC的距离．

解答 （I）证明：连接AC、BD相交于G，连接EG．
∵E为PD的中点，∴EG∥PB，
又EG?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，
在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PDA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠PDA=30°；
（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，
则PA是三棱锥P-ABD的高，设AB=x，A到平面PBC的距离为h，
∵${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}•x•1$，
∴$x=\frac{3}{2}\\∵AB⊥BC，PA⊥BC，AB∩PA=A∴BC⊥面PAB，BC⊥PB，\\∵{V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}∵PA•AB•BC=BC•PB•h，由勾股定理解得P{B^2}=\frac{13}{4}∴h=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}\\ 所以，A到面PBC的距离为\frac{{3\sqrt{13}}}{13}\end{array}$．
由V_P-ABC=V_A-PBC，得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\sqrt{3}•1=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}•\sqrt{3}•h$，
解得h=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．