【题目】已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,离心率为,点在椭圆C上,且⊥,△F1MF2的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆C交于A,B两点,,若直线l始终与圆相切,求半径r的值.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)由椭圆离心率为,点M在椭圆C上,且MF2⊥F1F2,△F1MF2的面积为,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程式,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的r的值.
(1)设,由题意得
∴,
故椭圆C的方程为.
(2)当直线l的斜率存在时,设其直线方程为,设A(,),B(,),
联立方程组,整理得,
由方程的判别式△=64k2m2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)>0,
得(1)
,,由∠AOB=90°,得
即
而,则
∴
整理得
把代入(1)得.
而,∴,显然满足,
直线l始终与圆相切,得圆心(0,0)到直线l的距离d=r,
则,
由,得
∵,∴.
当直线l的斜率不存在时,若直线l与圆相切,此时直线l的方程为.
∴
综上所述:.
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果来看,哪种药的效果好?
(2)完成茎叶图,从茎叶图来看,哪种药疗效更好?
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【题目】已知函数在区间上是增函数,,对于命题“若,则”,有下列结论:
①此命题的逆命题为真命题;
②此命题的否命题为真命题;
③此命题的逆否命题为真命题;
④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真命题.
其中正确的结论的序号为______________.
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【题目】甲、乙两位同学参加诗词大会,设甲、乙两人每道题答对的概率分别为和.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响,且每人各次答题情况相互独立.
(1)用表示甲同学连续三次答题中答对的次数,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)设为事件“甲、乙两人分别连续答题三次,甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”,求事件发生的概率.
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【题目】对关于的方程有近似解,必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数,介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线,估计零点的值在附近,然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤:
在处作曲线的切线,交轴于点;
在处作曲线的切线,交轴于点;
在处作曲线的切线,交轴于点;
得到一个数列,它的各项就是方程的近似解,按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题:
(1)求的值;
(2)设,求的解析式(用表示);
(3)求该方程的近似解的这两种方法,‘牛顿切线法’和‘二分法’,哪一种更快?请给出你的判断和依据.(参照值:关于的方程有解)
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