Question

5．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． f（1）＜2ef（2）
• B． ef（1）＜f（2）
• C． f（1）＜0
• D． ef（e）＜2f（2）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=xe^xf （x），则F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、

解答 解：构造函数F（x）=xe^xf （x），则F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴函数F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上单调递增，
∴F（1）＜F（2），
∴f（1）＜2ef（2），
故选A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．