Question

若函数f（x）=

10x-x2-21

+

7x-x2-10

-a存在零点，则a的范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令f（x）=0可得a=

10x-x2-21

+

7x-x2-10

，即求该函数的值域，化为圆，从而求出a的范围．

解答： 解：由题意，令f（x）=

10x-x2-21

+

7x-x2-10

-a=0，
则a=

10x-x2-21

+

7x-x2-10

=

4-(x-5)2

+

9 4 -(x- 7 2 )2

，
∵4-（x-5）²≥0 且

9

4

-（x-

7

2

）²≥0，
∴3≤x≤7，且2≤x≤5，
即，f（x）定义域是[3，5]，
令y₁=

4-(x-5)2

，y₂=

9 4 -(x- 7 2 )2

，
由图象法可知两圆的交点的纵坐标2倍是所求最大值，
f（x）≤

8

3

-a，
由图象法可知，当x=

7

2

时，f（x）取最小值，
f（x）≥

7

2

-a，
所以，

7

2

≤a≤

8

3

．

点评：本题考查了函数的零点的判断与求法，属于基础题．