Question

【题目】已知为椭圆的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以 为直径的圆与直线恒相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析: （1）由题意知知，由此能求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为， 得.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直线恒相切．

试题解析：(1)设椭圆的方程为,

由题意知解之得,

故椭圆的方程为.

(2)证明：设直线的方程为.

则点坐标为中点的坐标为.

由得.

设点的坐标为，则.

.

点坐标为,

当时，点的坐标为,直线轴，点的坐标为.

此时以为直径的圆与直线相切.

当时，则直线的斜率.

直线的方程为.

点E到直线的距离.

又因为.

故以为直径的圆与直线相切.

综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直径恒相切.