Question

求下列函数的单调区间．
（1）函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）（x＞0）；
（2）函数y=

x2+x-6

．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过讨论x的范围，从而求出函数的单调区间；
（2）令u=x²+x-6，y=

x2+x-6

可以看作有y=

u

与u=x²+x-6的复合函数，根据复合函数的单调性的判断，求出单调区间．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）
=x₁+

a

x1

-（x₂+

a

x2

）
=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

当0＜x₁＜x₂＜

a

时，x₁x₂＜a，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
在（0，

a

）上，f（x）是减函数．
当

a

＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞a，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（

a

，+∞）上是增函数，
∴f（x）=x+

a

x

（a＞0）的增区间为（

a

，+∞），减区间为（0，

a

）．
（2）令u=x²+x-6，y=

x2+x-6

可以看作有y=

u

与u=x²+x-6的复合函数．
由u=x²+x-6≥0，得x≤-3或x≥2．
∵u=x²+x-6在（-∞，-3]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
而y=

u

在（0，+∞）上是增函数．
∴y=

x2+x-6

的单调减区间为（-∞，-3]，单调增区间为[2，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性问题，对于复合函数的单调性遵循“同增异减”的方法，本题属于中档题．