Question

【题目】已知函数f（x）=x（1+a|x|），a∈R．

（1）当a=-1时，求函数的零点；

（2）若函数f（x）在R上递增，求实数a的取值范围；

（3）设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）[0，+∞），（3）（，0）.

【解析】

（1）求得a＝﹣1时，函数y的解析式，解方程即可得到所求零点；

（2）讨论a＝0，a＞0，a＜0，结合二次函数的单调性，即可得到所求范围；

（3）由题意可得，在[，]上，函数y＝f（x+a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．当a＝0或 a＞0时，检验不满足条件．当a＜0时，应有f（a）＜f（），化简可得 a2﹣a﹣1＜0，由此求得a的范围．

解：（1）当a=-1时，函数=x（1-|x|）-，

由y=0可得x（1-|x|）=，

当x≥0时，可得x（1-x）=，解得x=；

当x＜0时，可得x（1+x）=，解得x=，

综上可得函数的零点为和；

（2）f（x）=，

函数f（x）在R上递增，

若a=0时，f（x）=x在R上递增；

a≠0，由x≥0时，f（x）递增，可得a＞0且-＜0，即a＞0；

x＜0时，f（x）递增，可得a＞0且＞0，即a＞0；

a＜0时，不符题意．

综上可得a的范围是[0，+∞）；

（3）由于f（x）=，

关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[-，]A，

则在[-，]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．

当a=0时，显然不满足条件．

当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象

向左平移a个单位得到的，

结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象

在函数y=f（x）的图象下方．

当a＜0时，如图所示，要使在[-，]上，

函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，

只要f（+a）＜f（）即可，

即-a（+a）2+（+a）＜-a（）2，

即

化简可得a2-a-1＜0，解得＜a＜，

故此时a的范围为（，0）．

综上可得，a的范围为（，0）．