Question

（2007•上海）某人定制了一批地砖．每块地砖 （如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

Answer 1

分析：（1）图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，由此能够证明四边形EFGH是正方形．
（2）设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，求出W的表达式，借助二次函数的性质能求出E，F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省．

解答：解：（1）证明：图2是由四块图1所示地砖组成，
由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，
∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，
∴△CEF为等腰直角三角形．
∴四边形EFGH是正方形．
（2）设CE=x，则BE=0.4-x，
每块地砖的费用为W，
制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a（元），
则W=

1

2

x2•3a+

1

2

(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-

1

2

x2-

1

2

×0.4×0.4-x]•a
=a（x²-0.2x+0.24）=a[（x-0.1）²+0.23]（0＜x＜0.4）
由a＞0，当x=0.1时，W有最小值，
即总费用最省．当CE=CF=0.1米时最省．

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化．