【题目】如图,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=,DE=
.
(1)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值;
(2)在线段AF上是否存在点M,使得二面角MBED的大小为60°?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在;
.
【解析】
(1)以D为坐标原点,射线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间坐标系,求出坐标,进而求出
坐标,求出平面BEF的法向量坐标,按空间向量线面角公式,即可求解;
(2)设M(3,0,t),0≤t≤,求出平面MBE的法向量坐标,利用
是平面BED的一个法向量,按空间向量面面角公式,即可求出结论.
(1)因为DA,DC,DE两两垂直,所以以D为坐标原点,
射线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.则A(3,0,0),
F(3,0,),E(0,0,
),B(3,3,0),
C(0,3,0),=(3,-3,0),
=(-3,-3,3
),
=(3,0,
).
设平面BEF的法向量为=(x1,y1,z1),
取x1=,得
=(
,2
,3).
所以
所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为.
(2)假设存在点M在线段AF上满足条件,
设M(3,0,t),0≤t≤,
则=(0,-3,t),
=(-3,-3,
).
设平面MBE的法向量为=(x2,y2,z2),
令y2=t,得m=(-t,t,3).
易知=(3,-3,0)是平面BED的一个法向量,
所以|=
,
整理得2t2-t+15=0,解得t=
或t=
(舍去),
故在线段AF上存在点M,使得二面角MBED的大小为60°,此时.
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【题目】已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点,且满足>1,求实数a的取值范围;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥成立,求实数a的最大值.
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【题目】已知南北回归线的纬度为,设地球表面某地正午太阳高度角为
,
为此时太阳直射纬度,
为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是
.当地夏半年
取正值,冬半年
取负值,如果在北半球某地(纬度为
)的一幢高为
的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离应不小于______(结果用含有
和
的式子表示).
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【题目】由国家统计局提供的数据可知,2012年至2018年中国居民人均可支配收入(单位:万元)的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均可支配收入 | 1.65 | 1.83 | 2.01 | 2.19 | 2.38 | 2.59 | 2.82 |
(1)求关于
的线性回归方程(系数精确到0.01);
(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况,并预测2019年中国居民人均可支配收入.
附注:参考数据:,
.
参考公式:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,是正方形,点
在以
为直径的半圆弧上(
不与
,
重合),
为线段
的中点,现将正方形
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)证明:平面
.
(2)若,当三棱锥
的体积最大时,求
到平面
的距离.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC, .点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
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【题目】已知正方体,过对角线
作平面
交棱
于点E,交棱
于点F,则:
①平面分正方体所得两部分的体积相等;
②四边形一定是平行四边形;
③平面与平面
不可能垂直;
④四边形的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①④B.②③C.①②④D.①②③④
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