Question

3．已知椭圆M的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，过M上一点$P（{1，\frac{3}{2}}）$的直线l₁，l₂与椭圆M分别交于不同于P的另一点A，B，设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，且${k_1}•{k_2}=-\frac{3}{4}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）直线PA的方程为：$y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）$，与椭圆方程联立可得：$（3+4{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+$（12{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）$x+$4{k}_{1}^{2}$-12k₁-3=0，可得x_A，y_A．同理可得：x_B，y_B．直线AB的方程为：y-y_A=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$（x-x_A），令y=0，可得x为定值即可．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）直线PA的方程为：$y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化为：$（3+4{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+$（12{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）$x+$4{k}_{1}^{2}$-12k₁-3=0，
∴x_A=$\frac{4{k}_{1}^{2}-12{k}_{1}-3}{3+4{k}_{1}^{2}}$，y_A=${k}_{1}（{x}_{A}-1）+\frac{3}{2}$=$\frac{9-12{k}_{1}}{6+8{k}_{1}^{2}}$．
同理可得直线PB的方程为：$y-\frac{3}{2}={k}_{2}（x-1）$，
同理可得：x_B=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12{k}_{2}-3}{3+4{k}_{2}^{2}}$，y_B=$\frac{9-12{k}_{2}}{6+8{k}_{2}^{2}}$．
∴直线AB的方程为：y-y_A=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$（x-x_A），
令y=0，
化为：x=$\frac{{y}_{A}{x}_{B}-{y}_{B}{x}_{A}}{{y}_{A}-{y}_{B}}$=1．
∴直线AB过定点（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线的斜率计算公式与直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．