Question

17．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l₁、l₂，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数$y=\frac{a}{x}$图象的一段，点M到l₁、l₂的距离分别为8千米和1千米，点N到l₂的距离为10千米，以l₁、l₂分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．
（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$，可得其定义域；
（2）$P（p，\frac{8}{p}）$，设$AB：y-\frac{8}{p}=k（x-p）$与$y=\frac{8}{x}$联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．

解答 解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$，（4分）
又得$N（10，\frac{4}{5}）$，所以定义域为[1，10]．…（6分）
（2）$P（p，\frac{8}{p}）$，设$AB：y-\frac{8}{p}=k（x-p）$
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{8}{p}=k（x-p）\\ y=\frac{8}{x}\end{array}\right.$得kpx²+（8-kp²）x-8p=0，
△=（8-kp²）²+32kp²=（kp²+8）²=0，…（8分）
∴kp²+8=0，∴$k=-\frac{8}{p^2}$，得直线AB方程为$y-\frac{8}{p}=-\frac{8}{p^2}（x-p）$，…（10分）
得$A（0，\frac{16}{p}）、B（2p，0）$，故点P为AB线段的中点，
由$2p-\frac{16}{p}=2•\frac{{{p^2}-8}}{p}＞0$即p²-8＞0…（12分）
得$p＞2\sqrt{2}$时，OA＜OB，
所以，当$2\sqrt{2}＜p≤10$时，经点A至P路程最近．（14分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．