Question

如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为（

3

5

，

4

5

），记∠COA=α．
（1）求

1+sin2α

1+cos2α

的值；
（2）求|BC|²的值．

Answer 1

分析：（1）A的坐标为（

3

5

，

4

5

），根据三角函数的定义可知，sinα和cosα的值，代入所求的式子进行运算．
 （2）cos∠COB=cos（α+60°），利用两角和的余弦公式展开运算，三角形中利用余弦定理求边长的平方．

解答：解：（1）∵A的坐标为（

3

5

，

4

5

），根据三角函数的定义可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴

1+sin2α

1+cos2α

=

1+2sinαcosα

2cos2α

=

49

18

．
（2）∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

，
∴|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×

3-4 3

10

=

7+4 3

5

．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式的应用，利用余弦定理求边长的平方．