【题目】已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.
(2)利用基本不等式求出的最小值,令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|,只需g(x)max即可求解.
(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.
当x<-时,即-3x-2-x+1<4,
解得-<x<-;
当-≤x≤1时,即3x+2-x+1<4,
解得-≤x<;
当x>1时,即3x+2+x-1<4,无解.
综上所述,不等式的解集为.
(2) = (m+n)=1+1+,
当且仅当时取等号,
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=,
所以当x=-时,g(x)max=+a,要使不等式恒成立,
只需g(x)max=+a≤4,即0<a≤
.故实数a的取值范围为.
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且,过,三点的圆恰好与直线相切.
求椭圆的方程;
过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
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【题目】甲乙两人作游戏,甲先在纸上任意写下一个由L、R构成的长为的序列,然后乙将个质量互不相同的砝码逐一放在天平上,每放一个砝码(已放的砝码不再拿下),乙都在纸上按顺序写一个字母:如果天平倾向左边则写L,否则写R.当所有砝码都放在天平上时,乙也写下一个由L、R构成的长为的序列.规定:当乙写的序列与甲写的序列相同时乙胜,否则甲胜.试问:谁有必胜策略?
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【题目】某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),分别绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述错误的是( )
A.甲的六大能力中推理能力最差B.甲的创造力优于观察能力
C.乙的计算能力优于甲的计算能力D.乙的六大能力整体水平低于甲
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,沿AB将△ADC翻折成.设二面角的平面角为,直线与直线BC所成角为,直线与平面ABC所成角为,当为锐角时,有
A. B. C. D.
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【题目】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动,点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是,则对函数有下列判断:①函数是偶函数;②对任意的,都有;③函数在区间上单调递减;④函数的值域是;⑤.其中判断正确的序号是__________.
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【题目】某公司印制了一批文化衫,每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给名新员工,每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值,使得总存在两个人,他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
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