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如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EFAB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.

(Ⅰ)求证:NC平面MFD;
(Ⅱ)若EC=3,求证:ND⊥FC;
(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值.
(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,
所以MNEFCD,MN=EF=CD.
所以四边形MNCD是平行四边形,…(2分)
所以NCMD,…(3分)
因为NC?平面MFD,所以NC平面MFD.…(4分)
(Ⅱ)证明:连接ED,设ED∩FC=O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
所以NE⊥平面ECDF,…(5分)
因为FC?平面ECDF,
所以FC⊥NE.…(6分)
又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED.…(7分)
所以FC⊥平面NED,…(8分)
因为ND?平面NED,
所以ND⊥FC.…(9分)
(Ⅲ)设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.
由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为VNFEC=
1
3
S△EFC•NE=
1
2
x(4-x)
.…(11分)
所以VNFEC
1
2
[
x+(4-x)
2
]2=2
.…(13分)
当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大.…(14分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2
3
,D、E分别为AA1、BC1的中点.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求三棱锥C-BC1D的体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求面EAC与面DAC所成的二面角的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,EC与平面ABCD成30°角.
(1)求证:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,F是AC,BD的交点.
求证:A1F⊥平面BED.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,ADBC,AB=AD=PB,BC=2AD.点E在棱PA上,且PE=2EA.
(I)求证:CD⊥平面PBD;
(II)求二面角A-BE-D的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设α、β为两个不同的平面,直线l?α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,AO⊥平面α,点O为垂足,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=
π
4
∠COB=
π
6
,则cos∠BAC=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=2
2

(1)求证:OM平面ABD;
(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求三棱锥B-DOM的体积.

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