Question

17．如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角C-DE-A的正弦值．
（Ⅲ）利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．

解答 解：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为 BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{ED}$=（0，2，1）．
设面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），（6分）
取面ABDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），（7分）
由cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故二面角C-DE-A的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），
则点A到平面CDE的距离d=$\frac{2}{\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查向量方法的运用，属于中档题．