Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足满足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”
（1）若数列{a_n}的通项为a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式．
（2）若数列{c_n}的通项为c_n=An+B，（A．、B是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是否是等差数列，请说明理由．
（3）已知数列{d_n}的通项为dn=2n+n，设{d_n}的“生成数列”为{p_n}．若数列{L_n}满足Ln=

dn     n是奇数 pn     n是偶数

求数列{L_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，代入计算，可得{b_n}的通项公式．
（2）表示出数列{c_n}的“生成数列”{l_n}的通项，分类讨论，可得结论；
（3）表示出L_n，再分类讨论，即可求数列{L_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵a_n=n，b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)
∴bn=

1                   n=1 2n-1            n≥2 ，n∈N*

∴b_n=2n-1；
（2）ln=

A+B                   n=1 2An+2B-A        n≥2 ，n∈N*

当B=0时，l_n=2An-A，由于l_n+1-l_n=2A（常数），所以此时数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是等差数列．    
当B≠0时，由于l₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，此时l₁+l₃≠2l₂，
所以此时数列{c_n}的“生成数列”{l_n}不是等差数列．
（3）pn=

3                          n=1 3•2n-1+2n-1        n＞1

，Ln=

2n+n                 n是奇数 3•2n-1+2n-1     n是偶数

当n是偶数时，Tn=(2+1)+(23+3)+(25+5)+…+(2n-1+(n-1))+(3•2+3)+(3•23+7)+…+(3•2n-1+(2n-1))=

2

3

(2n-1)+

n2

4

+2n+1-2+

n(n+1)

2

=

8

3

(2n-1)+

3n2+2n

4

当n是奇数时，T_n=T_n+1-p_n+1=

8

3

(2n+1-1)+

3(n+1)2+2(n+1)

4

-(3•2n+(2n+1))
=

7•2n

3

+

3n2+1

4

-

8

3

=

7•2n

3

+

3

4

n2-

29

12

综合：Tn=

7•2n 3 + 3 4 n2- 29 12                  n是奇数 8 3 (2n-1)+ 3n2+2n 4             n是偶数

．

点评：本题考查新定义，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．