【题目】已知函数
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求
的最大值与
的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
的最大值为
，
的最小值为1
【解析】
（Ⅰ）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；
（Ⅱ）构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解的最大值与的最小值.
（Ⅰ）因为
当
，从而
在
单调递减，所以
.
（Ⅱ）令
则
，由（Ⅰ）知，
所以函数
在
单调递增，故
所以的最大值.
因为
等价于
令
则
（1）当
时，
，所以
在单调递增，所以
对任意
恒成立，不符合题意；
（2）当
时，因为对任意，
，所以在单调递减，所以
对任意恒成立，符合题意；
（3）当
时，构造
，则
所以
在单调递增，又因为
所以存在唯一零点
，使得
，当
，
，在
单调递减，当
，
，在
在单调递增
所以
，不符合题意，综上，的最小值为1
所以
对恒成立，的最大值为，的最小值为1.
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【题目】一款击鼓小游戏的规则如下：每轮游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每轮游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓是否出现音乐相互独立．
（1）玩三轮游戏，至少有一轮出现音乐的概率是多少？
（2）设每轮游戏获得的分数为X，求X的分布列及数学期望．
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【题目】“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
试销单价 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量 |
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
．
（1）求出
的值；
（2）已知变量
具有线性相关关系，求产品销量
（件）关于试销单价
（元）的线性回归方程
；可供选择的数据：
，
；
（3）用
表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值．当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数
的分布列和数学期望
．
（参考公式：线性回归方程中
的最小二乘估计分别为
，
）
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【题目】已知数列
.如果数列
满足
， 
，其中
，则称
为
的“陪伴数列”.
（Ⅰ）写出数列
的“陪伴数列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴数列”是
.试证明： 
成等差数列.
（Ⅲ）若
为偶数，且
的“陪伴数列”是
，证明： 
.
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【题目】已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为
．
（1）求动点M轨迹C的方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的方程是： 
，以坐标原点为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）设过原点的直线
与曲线
交于
， 
两点，且
，求直线
的斜率.
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【题目】已知中心在原点，焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，且经过点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）是否存在过点
的直线
与
相交于不同的两点
，满足
？
若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
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