如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M。
⑴求椭圆T与圆O的方程;
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)。
①若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;
②若,求与的方程。
(1)椭圆的方程为与圆的方程为;(2)①;②的方程为,的方程为或的方程为,的方程为.
【解析】
试题分析:(1)圆的圆心在原点,又过点为,方程易求,而椭圆过点,这实质是椭圆短轴的顶点,因此,又离心率,故也易求得,其标准方程易得.(2)①看到点到直线的距离,可能立即想到点到直线的距离公式,当然如果这样做的话,就需要求出直线方程,过程相对较难,考虑到直线,由所作的两条垂线,与直线围成一个矩形,从而,我们只要设点坐标为,则,再由点在椭圆上,可把表示为或的函数,从而求出最大值.②这题考查同学们的计算能力,设直线的斜率为,得直线方程,与圆方程和椭圆方程分别联立方程组,求出点坐标,点坐标,同样求出的坐标,再利用已知条件求出,得到直线的方程.
试题解析:(1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程 4分
(2) ①设因为⊥,则因为
所以, 7分
因为 所以当时取得最大值为,此时点 9分
②设的方程为,由解得;
由解得 11分
把中的置换成可得, 12分
所以,
,
由得解得 15分
所以的方程为,的方程为
或的方程为,的方程为 16分
考点:(1)圆的方程与椭圆的标准方程;(2)点到直线的距离,直线与圆和椭圆相交问题.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:2013年江苏省盐城市高考数学二模试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2013年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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