Question

8．在△ABC中，已知cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，且sin（$\frac{π}{2}$+B）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求三角形的面积．

Answer 1

分析 运用诱导公式，两角和的正弦公式，再由正弦定理和面积公式，即可求得．

解答 解：∵cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又A∈（0，π），∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵由sin（$\frac{π}{2}$+B）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，得cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又B∈（0，π），∴sinB=$\frac{1}{3}$，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由正弦定理，得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=2，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换公式及运用，考查正弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．