Question

已知函数f(x)＝e^x＋alnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：

①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；

②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；

③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；

④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．

其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．

Answer 1

②④

解析　由f(x)＝e^x＋alnx可得f′(x)＝e^x＋，若a>0，则f′(x)>0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x∈(0,1)，使得f(x)<0，即得命题①③不正确；若a<0，设e^x＋＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)<0，在(m，＋∞)上f′(x)>0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)<0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.