Question

10．已知向量$\overrightarrow{p}$=（sin（x-$\frac{π}{6}$），cosx），$\overrightarrow{q}$=（cosx，cosx），若函数f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-$\frac{1}{4}$．
（1）求x$∈[-\frac{5π}{24}，\frac{7π}{24}]$时，函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=$\frac{1}{4}$，且a=2，求BC边上中线的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的坐标表示和三角恒等变换，化简f（x）可得$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域；
（2）运用正弦函数的特殊值，可得A，再由余弦定理和中线长定理，结合基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-$\frac{1}{4}$=sin（x-$\frac{π}{6}$）cosx+cos²x-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（-$\frac{π}{6}$））+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当x$∈[-\frac{5π}{24}，\frac{7π}{24}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{4}$，即x=-$\frac{5π}{24}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
则有函数f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
（2）f（A）=$\frac{1}{4}$，即为$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，A为三角形的内角，
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=4，
由中线长定理可得，BC边上中线AD为$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{b}^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（bc+4）-4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2bc+4}$，
由b²+c²-bc=4≥2bc-bc，可得bc≤4，
即有BC边上中线AD≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{8+4}$=$\sqrt{3}$．
即有当且仅当b=c时，最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质的运用，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，属于中档题．