Question

已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆（垂直于轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、，求证.

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）联立方程组表示出向量,再证.

试题分析：（Ⅰ） 观察知，是圆的一条切线，切点为，
设为圆心，根据圆的切线性质，，
所以， 所以直线的方程为.
线与轴相交于，依题意，所求椭圆的方程为 
（Ⅱ） 椭圆方程为，设
则有，
在直线的方程中，令，整理得
           ①
同理，     ②
①②，并将代入得
 
===.
而=   
∵且，∴
∴
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大．