Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足关系式（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4（t≠-2，t≠0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）当a₁为何值时，数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}使b₁=1，b_n=f（b_n-1）（n=2，3，4，…），求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，如果对一切n∈N₊，不等式bn+bn+1＜

c

2n+1

恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4，知（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，所以

an+1

an

为常数

t

2+t

．当n=1时，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得a2=

2t+4-2a1

2+t

．要使{a_n}是等比数列，必须

a2

a1

=

t

2+t

，由此能求出a₁．
（Ⅱ）由f(t)=

t

2+t

，知bn=

bn-1

2+bn-1

，即

1

bn

+1=2(

1

bn-1

+1)．由此能求出b_n．
（Ⅲ）把bn=

1

2n-1

，bn+1=

1

2n+1-1

代入得：

1

2n-1

+

1

2n+1-1

＜

c

2n+1

，即c＞

2n+1

2n-1

+

2n+1

2n+1-1

，要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大由此入手，能求出实数c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4①n≥2时，（2+t）S_n-tS_n-1=2t+4②
两式相减：（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，（2+t）a_n+1-ta_n=0，

an+1

an

=

t

2+t

．即n≥2时，

an+1

an

为常数

t

2+t

．（2分）
当n=1时，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得a2=

2t+4-2a1

2+t

．
要使{a_n}是等比数列，必须

a2

a1

=

t

2+t

．∴

2t+4-2a1

(2+t)a1

=

t

2+t

，解得a₁=2．（5分）
（Ⅱ）由（1）得，f(t)=

t

2+t

，因此有bn=

bn-1

2+bn-1

，
即

1

bn

=

2

bn-1

+1，整理得

1

bn

+1=2(

1

bn-1

+1)．
则数列{

1

bn

+1}是首项为

1

b1

+1=2，公比为2的等比数列，

1

bn

+1=2•2n-1=2n，bn=

1

2n-1

．（10分）
（Ⅲ）把bn=

1

2n-1

，bn+1=

1

2n+1-1

代入得：

1

2n-1

+

1

2n+1-1

＜

c

2n+1

，
即c＞

2n+1

2n-1

+

2n+1

2n+1-1

，
要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大．∵

2n+1

2n-1

+

2n+1

2n+1-1

=

(2n-1)+2

2n-1

+

1 2 (2n+1-1)+ 3 2

2n+1-1

=

3

2

+

2

2n-1

+

3

2(2n+1-1)

，
∴

2n+1

2n-1

+

2n+1

2n+1-1

的值随n的增大而减小．则当n=1时，

2n+1

2n-1

+

2n+1

2n+1-1

取得最大值4．
因此，实数c的取值范围是c＞4．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．