Question

（1）点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，求点M满足的方程．
（2）曲线上点M（x，y）到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离比是常数2，求曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得，点M（x、y）到点F（2，0）的距离和到直线x+2=0的距离相等，点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+2=0为准线的抛物线，方程为 y²=2Px，=2．
（2）设出动点的坐标，将已知条件中的几何关系用坐标表示，化简方程，据椭圆方程的形式判断出动点的轨迹形状．
解答：解：（1）∵动点M（x、y）到点F（2，0）的距离比到直线x+3=0的距离小1，
∴点M（x、y）到点F（2，0）的距离和到直线x+2=0的距离相等，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+2=0为准线的抛物线．
∴=2，∴P=4，故抛物线方程为y²=8x，
（2）设d是点M到直线l：x=8的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|=2}，（4分）
由此得 =2．将上式两边平方，并化简，得 ．
曲线方程为：．
点评：本题考查用定义法求点的轨迹方程，抛物线的定义和性质的应用．判断动点的轨迹问题常常通过求出动点的轨迹方程，据方程的特殊形式判断出动点的轨迹．