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如图,在椭圆C中,点F1是左焦点,A(a,0),B(0,b)分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心.又点P在椭圆上,且满足条件:OP∥AB,点H是点P在x轴上的射影.
(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;
(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆离心率的取值范围;
(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于,求椭圆的方程.
【答案】分析:(1)由,OP∥AB,得,代入椭圆方程,得,由此能够证明当a取定值时,点H必为定点.
(2)由点H落在左顶点与左焦点之间,知只有,且,由此能求出椭圆离心率的取值范围.
(3)以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于.由条件设直线,点O到直线AB的距离,又,所以,再由
能够得到所求椭圆方程.
解答:解:(1)由,OP∥AB,得
代入椭圆方程,得

∵PH⊥x轴,∴
∵a为定值,∴H为定点;(4分)
(2)∵点H落在左顶点与左焦点之间,
∴只有,且
可解得;(4分)
(3)以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于
由条件设直线
则点O到直线AB的距离,又

又由
得ab=4.②由①②解得
所以所求椭圆方程为:.(6分)
点评:本题考查定点的证明、离心率取值范围的确定和椭圆方程的求法,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在椭圆C中,点F1是左焦点,A(a,0),B(0,b)分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心.又点P在椭圆上,且满足条件:OP∥AB,点H是点P在x轴上的射影.
(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;
(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆离心率的取值范围;
(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于3+
2
,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•武汉模拟)如图,在椭圆C:
x2
4
+
y2
3
=1
中,F1,F2分别为椭圆C的左右两个焦点,P为椭圆上且在第一象限内的点,△PF1F2的重心为G,内心为I.
(1)求证:IG∥F1F2
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM,AN的斜率k1,k2满足k1+k2=-
1
2
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在椭圆C中,点F1是左焦点,A(a,0),B(0,b)分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心.又点P在椭圆上,且满足条件:OP∥AB,点H是点P在x轴上的射影.
(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;
(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆离心率的取值范围;
(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于数学公式,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源:2008年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,在椭圆C:中,F1,F2分别为椭圆C的左右两个焦点,P为椭圆上且在第一象限内的点,△PF1F2的重心为G,内心为I.
(1)求证:IG∥F1F2
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM,AN的斜率k1,k2满足,求直线l的方程.

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