Question

如图，正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，F、G分别为、上的点，且CF=2GD=2.求：

（1）到面EFG的距离；
（2）DA与面EFG所成的角的正弦值；
（3）在直线上是否存在点P，使得DP//面EFG?,若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。

Answer 1

1）（2）= （3）DP//面EFG

本试题主要是考查了空间几何体中点到面的距离，以及线面角的求解，和线面平行的判定的综合运用。
（1）合理的建立空间直角坐标系，利用向量在法向量上的投影得到点C‘到面EFG的距离；
（2）而对于线面角，DA与面EFG所成的角的正弦值则可以利用斜向量与法向量的关系，运用数量积的夹角公式得到。
（3）假设在直线BB’上是否存在点P，使得DP//面EFG，根据假设推理论证得到点P的坐标。解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系

则E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1）∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1），
设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，
得=（－4，1，－2）
（1）∵=（0，0，－1），∴C^’到面EFG的距离为 
（2）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为θ，则= 
（3）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P(2，2，－3)=(2，2，－3)，∴=0，∴DP//面EFG