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    D

    解析：易知d=0,∴＝

    ∴x＝－1或x=2是方程＝0的两根.

     ∴∴

    ∴,∴∴=

    证明：过点P作PE⊥AB于E，

    ∵AB为直径，∴∠ANB＝∠AMB＝，

    ∴P,E,B,N四点共圆，P,E,A,M四点共圆.

    由割线定理得，AE·AB=AP·AN ① , BE·AB=BP·BM ②，

    由①＋②得，AB(AE+BE)=AP·AN+BP·BM,即AP·AN+BP·BM＝.

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    科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷解析版） 题型：解答题

    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    D

    解析：易知d=0,∴＝

    ∴x＝－1或x=2是方程＝0的两根.

     ∴∴

    ∴,∴∴=

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    D

    解析：易知d=0,∴＝

    ∴x＝－1或x=2是方程＝0的两根.

     ∴∴

    ∴,∴∴=

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