Question

19．如图，四棱锥A-OBCD中，已知平面AOC⊥面OBCD，AO=2$\sqrt{3}$，OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．
（I）求证：平面ACD⊥平面AOC；
（II）直线AO与平面OBCD所成角为60°，求二面角A-BC-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）证出CD⊥OC，CD⊥面AOC，然后证明平面ACD⊥平面AOC．
（2）过A作OC的垂线，垂足为H，则∠AOH=60°，AH=3，过H作BC的垂线，垂足为M，连AM，说明∠AMH为所求，然后通过求解三角形求解即可．

解答 （1）证明：OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．
可得OC=2$\sqrt{3}$，∠DCO=120°-30°=90°，

∴CD⊥OC，…2分
因为平面AOC⊥面OBCD，∴CD⊥面AOC…4分
又CD⊆面ACD，所以平面ACD⊥平面AOC…6分
（2）过A作OC的垂线，垂足为H，则∠AOH=60°，AH=3…8分
过H作BC的垂线，垂足为M，连AM，则AM⊥BC
则∠AMH为所求…11分
$tan∠AMH=\frac{AH}{HM}=\frac{3}{{\frac{3}{2}\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…15分
（求对一条边长给2分）

点评 本题考查平面与平面垂直，直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．