Question

设函数f（x）=x²-ax-6和函数g(x)=

k-2

x

(k≠2)，已知过点（3，-28）的两直线与曲线f（x）分别相切于两点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），且2

5

是m₁+3与m₂+3的等比中项．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若函数h（x）=f（x）-g（x）-4lnx在(

1

2

，4)是增函数，求k的取值范围；
（Ⅲ） 设t=

2k+1

i=1

1

|g(x-i)|

，k＞2，k∈N*，求证：ln

1+t

1+k

＜t-k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由f（x）=x²-ax-6求导f'（x）=2x-a设点（m，f（m））在曲线f（x）上，利用导数的几何意义求出切线方程及切点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），结合等比中项条件得到m₁m₂+3（m₁+m₂）-11=0得到利用根与系数的关系即可求得a值
（Ⅱ）利用h(x)=x2-5x-6+

k-2

x

-4lnx在(

1

2

，4)是增函数，结合导数得到k≥-2x³+5x²+4x+2在(

1

2

，4)上恒成立，最后利用恒成立的条件即可求出k的取值范围；（Ⅲ）先将已知条件进行变形化简得出t＞k＞0，再设u（x）=ln（1+x）-x利用导数工具研究其单调性即可证得ln

1+t

1+k

＜t-k．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax-6
∴f'（x）=2x-a设点（m，f（m））在曲线f（x）上，
∴点（m，f（m））
处的切线方程为点y-（m²-am-6）=（2m-a）（x-m），（1分）
∵切线过点（3，-28）与曲线f（x）相切于点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），
∴-28-（m²-am-6）=（2m-a）（3-m），即m²-6m+3a-22=0，
∴m₁+m₂=6，m₁m₂=3a-22，（2分）
∵2

5

是m₁+3与m₂+3的等比中项，
∴（m₁+3）（m₂+3）=20，即m₁m₂+3（m₁+m₂）-11=0，（3分）
∴3a-22+3×6-11=0，∴a=5，（4分）
（Ⅱ）∵h(x)=x2-5x-6+

k-2

x

-4lnx在(

1

2

，4)是增函数，
∴h′(x)=2x-5+

k-2

x2

-

4

x

≥0在(

1

2

，4)上恒成立，（5分）
∴k≥-2x³+5x²+4x+2在(

1

2

，4)上恒成立，
设m（x）=-2x³+5x²+4x+2，∴m'（x）=-6x²+10x+4，（6分）
则m'（x）=-6x²+10x+4=0，则x=-

1

3

，或x=2，
∴m（x）=-2x³+5x²+4x+2
在(

1

2

，2)上是增函数，[2，4）上是减函数，
∴当x=2时，m（x）有最大值为14，（7分）
∴k的取值范围是[14，+∞），（8分）
（Ⅲ）∵t=

2k+1

i=1

1

|g(x-i)|

=

1

k-2

(|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-(2k+1)|）
又∵t=

1

k-2

(|x-(2k+1)|+|x-2k|++|x-1|)，
∴2t=

1

k-2

[(|x-1|+|x-(2k+1)|)+(|x-2|+|x-2k|)++(|x-(2k+1)|+|x-1|)
≥

1

k-2

[(|x-1-x+2k+1|)+(|x-2-x+2k|)++(|x-2k-1-x+1|)（9分）
=

1

k-2

(2k+2(k-1)++2)×2
=

2

k-2

k(k+1)，（10分）
≥

2

k-2

k(k-2)=2k，（11分）
∴t＞k＞0，
设u（x）=ln（1+x）-x，（12分）
∴u′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
当x＞0时，u'（x）＜0，
∴u（x）在（0，+∞）上递减，（13分）
∵t＞k＞0，∴u（t）＜u（k），
∴ln（1+t）-t＜ln（1+k）-k，
∴ln

1+t

1+k

＜t-k（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．