Question

9．某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近．现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外（如图）．设小岛O到AB的距离为x，∠AOB=α，D船到小岛O的距离为d．
（1）请分别求d关于x，α的函数关系式d=g（x），d=f（α）；并分别写出定义域；
（2）当A，B两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d最大）．

Answer 1

分析 （1）设x的单位为百海里，由∠OAB=α，求出AB，AD，在△AOD中，求解即可．若小岛O到AB的距离为x，通过$AB=2\sqrt{{1^2}-{x^2}}$，求解OD即可．
（2）通过OD²=4cos²α+1+4cosαsinα；结合角的范围，利用三角函数最值求解即可．

解答 解：设x的单位为百海里
（1）由∠OAB=α，AB=2OAcosA=2cosA，AD=AB=2cosα，…（2分）
在△AOD中，$OD=f（α）=\sqrt{O{A^2}+O{B^2}-2×OA×OBcos（α+\frac{π}{2}）}$…（3分）
=$\sqrt{1+4{{cos}^2}α+4cosαsinα}$；$α∈（0，\frac{π}{2}）$（定义域1分）…（5分）
若小岛O到AB的距离为x，$AB=2\sqrt{{1^2}-{x^2}}$，…（6分）
$OD=g（x）=\sqrt{{{（x+\frac{AD}{2}）}^2}+{{（\frac{AB}{2}）}^2}}$…（8分）
=$\sqrt{-{x^2}+2x\sqrt{1-{x^2}}+2}$，x∈（0，1）（定义域1分）     …（10分）
（2）OD²=4cos²α+1+4cosαsinα；$α∈（0，\frac{π}{2}）$
=$4×\frac{1+cos2α}{2}+1+4×\frac{sin2α}{2}$
=2（sin2α+cos2α）+3
=$2\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+3，α∈（0，\frac{π}{2}）$．…（11分）
当$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，则$2α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时，即$α=\frac{π}{8}$，OD取得最大值，…（12分）
此时$AB=2cos\frac{π}{8}=2×\sqrt{\frac{{1+cos\frac{π}{4}}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$（百海里）．…（13分）
答：当AB间距离$100\sqrt{2+\sqrt{2}}$海里时，搜救范围最大．…（14分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．