Question

已知函数f（x）=e^x-x
（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出函数的最值；
（2）根据（1）的结论可知当x＞0时，x＞ln（x+1），将1，

1

2

，

1

3

，…

1

n

分别代入，然后将同向不等式对应相加，化简即可求得．

解答：解：（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴[f（x）]_min=f（0）=1
∴x∈R时，f（x）≥1
（2）由（1）可知：当x＞0时，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
则1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用同向不等式的加法证明不等式，属于中档题．