Question

3．已知△ABC中，|$\overrightarrow{BA}$|=6，|$\overrightarrow{CB}$|=3，$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$=9，若$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PC}$，则$|\overrightarrow{PE}|$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 运用向量的加减运算，可得$\overrightarrow{PE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CA}$，再由余弦定理可得CA的长，角C为直角，运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{PE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CA}$，
设△ABC中A，B，C所对的边为a，b，c，
由|$\overrightarrow{BA}$|=6，|$\overrightarrow{CB}$|=3，$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AB}$=9，
可得c=6，a=3，accosB=9，
即有b²=a²+c²-2accosB=9+36-2×9=27，
可得a²+b²=c²，即有∠C=90°，
即$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，
|$\overrightarrow{PE}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}{\overrightarrow{CB}}^{2}+\frac{1}{36}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×9+\frac{1}{36}×27+0}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用向量的加减运算和数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．