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如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径,是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆两点,交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.

(1);当直线的方程为时,的面积取最大值.

解析试题分析:(1)首先根据题中条件求出的值,进而求出椭圆的方程;(2)先设直线的方程为,先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系(勾股定理)求出直线截圆所得的弦长
,然后根据直线两者所满足的垂直关系设直线,将直线的方程与椭圆的方程联立,求出直线截椭圆的弦长,然后求出的面积的表达式,并利用基本不等式求出的面积的最大值,并求出此时直线的方程.
试题解析:(1)由题意得
椭圆的方程为
(2)设
由题意知直线的斜率存在,不妨设其为,则直线的方程为
故点到直线的距离为,又圆

直线的方程为
,消去,整理得
,代入的方程得

的面积为,则


当且仅当,即时上式取等号,
时,的面积取得最大值
此时直线的方程为
考点:1.椭圆的方程;2.直线与圆、椭圆的位置关系;3.基本不等式

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阅读:
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的最小值为.
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(1)已知,求的最小值;
(2)已知,求函数的最小值;
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求证:.

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