Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，F为B₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁F∥平面ECC₁；
（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC₁？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，取BC中点M，连接AM，FM．
∵平行四边形BB₁C₁C中，F、M分别是B₁C₁、BC的中点，
∴FM∥B₁B且FM=B₁B．…（2分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥B₁B且AA₁=B₁B
∴FM∥A₁A且FM=A₁A，得四边形AA₁FM是平行四边形．
∴FA₁∥AM．
∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，
∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…（4分）
∴CE∥AM，可得CE∥A₁F．
∵A₁F?平面ECC₁，EC?平面ECC₁，
∴A₁F∥平面ECC₁．…（6分）
（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC₁
取CD中点G，连接BG…（7分）
在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，
∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…（9分）
∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…（11分）
∵CC₁⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴CC₁⊥BG，
又∵EC∩CC₁=C．EC、CC₁⊆平面ECC₁．
∴BG⊥平面ECC₁．
故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC₁．…（13分）
分析：（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A₁A且FM=A₁A，得四边形AA₁FM是平行四边形，从而FA₁∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A₁F，结合线面平行判定定理，得到A₁F∥平面ECC₁．
（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC₁⊥平面ABCD，得CC₁⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC₁．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC₁．
点评：本题给出正四棱柱，求证线面平行并探索线面垂直，着重考查了空间线面垂直、平行的判定与性质等知识，属于中档题．