Question

14．在平面直角坐标系xoy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x²+y²-4x-1=0交于A，B两点．
（1）若直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；
（2）若OB=2OA，求直线l的方程；
（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由直线与圆C相切d=r，求出直线m的方程，得切点B的坐标，从而求出直线l的方程；
（2）设出直线AB的方程，利用圆心到直线AB的距离与半径、弦长的关系，求出直线方程即可；
（3）求出点D的坐标，写出△ABD的面积表达式，利用直线AB的方程与圆C的方程联立，求出面积的最大值．

解答 解：（1）由直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，
圆心为（2，0），半径为$\sqrt{5}$；
∴$\frac{{|{3a+2}|}}{{\sqrt{{a^2}+4}}}=\sqrt{5}$；
化简得：a²+3a-4=0，
解得a=1或a=-4，
又a＞0，故a=1；
∴直线m：x-2y+3=0
与圆C联立，得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-4x-1=0}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即切点B（1，2）；
∴直线l的方程为：y=2x；
（2）取AB中点M，则$AM=\frac{1}{2}AB$，
又$OA=\frac{1}{3}AB$，所以$OM=\frac{1}{3}AM$；
设：OM=x，圆心C（2，0）到直线l的距离为d，
由勾股定理得：x²+d²=4，9x²+d²=5，
解得${d^2}=\frac{31}{8}$；
设所求直线l的方程为y=kx，
∴$d=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
解得$k=±\sqrt{31}$，
∴直线l的方程为：y=±$\sqrt{31}$x；
（3）如图所示：

设A，B两点的纵坐标分别为y₁，y₂，
易知$D（2+\sqrt{5}，0）$，
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y_1}|+|{y_2}|）$，
易知|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|；
设AB的方程为x=ty，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty\\{x^2}+{y^2}-4x-1=0\end{array}\right.$，
消去x得（t²+1）y²-4ty-1=0，
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{△}}}{{1+{t^2}}}=\frac{{\sqrt{20{t^2}+4}}}{{1+{t^2}}}$=$2\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}$，
设x=5t²+1，则|y₁-y₂|=2$\sqrt{\frac{25x}{{x}^{2}+8x+16}}$=2$\sqrt{\frac{25}{x+\frac{16}{x}+8}}$≤$\frac{5}{2}$，（当且仅当x=4时取等号），
∴△ABD面积最大值为$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{5}$）•$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$（2+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了直线与圆的综合应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，考查了根与系数的应用问题，考查了分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．