Question

【题目】等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知对任意的n∈N+ ， 点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
（1）求r的值．
（2）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N+），证明：对任意的n∈N+，不等式成立 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），

均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．

所以得Sn=bn+r，当n=1时，a1=S1=b+r，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=bn+r﹣（bn﹣1+r）=bn﹣bn﹣1=（b﹣1）bn﹣1，

又因为{an}为等比数列，所以r=﹣1，公比为b，an=（b﹣1）bn﹣1

（2）当b=2时，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=2（log2an+1）=2（log22n﹣1+1）=2n

则 ，

所以

下面用数学归纳法证明不等式 成立．

当n=1时，左边= ，右边= ，

因为 ，所以不等式成立．

假设当n=k时不等式成立，

即 成立

则当n=k+1时，

左边=

所以当n=k+1时，不等式也成立．

由①、②可得不等式恒成立

【解析】本题考查的数学归纳法及数列的性质．（1）由已知中因为对任意的n∈N+ ， 点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程，再由数列{an}为等比数列，即可得到r的值．（2）将b=2代入，我们可以得到数列{an}的通项公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n），我们可给数列{bn}的通项公式，进而可将不等式 进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数学归纳法的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．