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【题目】已知函数
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)证明:f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(3)证明:方程f(x)=0没有负数根.

【答案】
(1)解:因为函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞)

不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数


(2)证明:设﹣1<x1<x2

所以f(x1)﹣f(x2)<0,

所以f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数.


(3)证明:设x0<0,且f(x0)=0,则

由f(x0)=0,必须 ,则

与x0<0矛盾.

所以方程f(x)=0没有负数根.


【解析】(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,可见函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数.
(2)利用定义法设﹣1<x1<x2,再比较f(x1)﹣f(x2)与0的关系,即可证明f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数.
(3)利用反证法,设x0<0,且f(x0)=0推导出矛盾即可.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题.

练习册系列答案
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