【题目】已知函数
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)证明:f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(3)证明:方程f(x)=0没有负数根.
【答案】
(1)解:因为函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞)
不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数
(2)证明:设﹣1<x1<x2,
,
所以f(x1)﹣f(x2)<0,
所以f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数.
(3)证明:设x0<0,且f(x0)=0,则 ,
由f(x0)=0,必须 ,则 ,
与x0<0矛盾.
所以方程f(x)=0没有负数根.
【解析】(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,可见函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数.
(2)利用定义法设﹣1<x1<x2,再比较f(x1)﹣f(x2)与0的关系,即可证明f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数.
(3)利用反证法,设x0<0,且f(x0)=0推导出矛盾即可.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题.
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【题目】已知 若存在互不相同的四个实数0<a<b<c<d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则ab+c+2d的取值范围是( )
A.( , )
B.( ,15)
C.[ ,15]
D.( ,15)
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【题目】已知公比为q的等比数列{an}的前6项和S6=21,且4a1 , ,a2成等差数列.
(1)求an;
(2)设{bn}是首项为2,公差为﹣a1的等差数列,记{bn}前n项和为Tn , 求Tn的最大值.
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【题目】已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,平均数为10.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是 .
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【题目】设函数f(x)=3x2﹣4ax(a>0)与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】记函数f(x)=lg(1﹣ax2)的定义域、值域分别为集合A,B.
(1)当a=1时,求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口.已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是 、 、 ,遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.
(1)求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率;,
(2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.
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【题目】已知函数f(x)=a(x+lnx)(a>0),g(x)=x2 .
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线恰好也是g(x)图象的切线.求实数a的值;
(2)对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1 , x2且x1<x2 , 都有f(x2)﹣f(x1)<g(x2)﹣g(x1)成立.试求实数a的取值范围.
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