Question

已知f（x）=x²+2（a-2）x+4，
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）如果对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，只需开口向上和判别式恒小于零建立关系式即可；
（2）对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，需讨论对称轴与区间[-3，1]的位置关系，以及端点的函数值和判别式进行建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）∵对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
根据二次函数的图象和性质可得
△=4（a-2）²-16＜0⇒0＜a＜4；
（2）∵对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，
∴讨论对称轴与区间[-3，1]的位置关系得

-(a-2)＜-3 f(-3)＞0

或

-3≤-(a-2)≤1 △＜0

或

-(a-2)＞1 f(1)＞0

，
解得a∈?或1≤a＜4或-

1

2

＜a＜1，∴a的取值范围为(-

1

2

，4)．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数在闭区间上恒成立问题，属于基础题．