Question

【题目】已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{an}共有m项，记该数列前i项a1 ， a2 ， …，ai中的最大项为Ai ， 该数列后m﹣i项ai+1 ， ai+2 ， …，am中的最小项为Bi ， ri=Ai﹣Bi（i=1，2，3，…，m﹣1）；
（1）若数列{an}的通项公式为 （n=1，2，…，m），求数列{ri}的通项公式；
（2）若数列{an}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{an}的通项公式；
（3）试构造项数为m的数列{an}，满足an=bn+cn ， 其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使数列{ri}是单调递增的，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 单调递增，∴Ai=2i，Bi=2i+1，∴ri=Ai﹣Bi=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．
（2）解：根据题意可知，ai≤Ai，Bi≤ai+1，

因为ri=Ai﹣Bi=﹣2＜0，所以Ai＜Bi，

可得ai≤Ai＜Bi≤ai+1，即ai＜ai+1，

又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{an}单调递增，

则Ai=ai，Bi=ai+1，所以ri=ai﹣ai+1=﹣2，即ai+1﹣ai=2，1≤i≤m﹣1，

所以{an}是公差为2的等差数列，an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；

（3）解：构造an=n﹣ ，其中bn=n，cn=﹣ ，

下证数列{an}满足题意．

证明：因为an=n﹣ ，所以数列{an}单调递增，

所以Ai=ai=i﹣ ，Bi=ai+1=i+1﹣ ，

所以ri=ai﹣ai+1=﹣1﹣ ，1≤i≤m﹣1，

因为ri+1﹣ri=[﹣1﹣ ]﹣[﹣1﹣ ]= ＞0，

所以数列{ri}单调递增，满足题意．

（说明：等差数列{bn}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{cn}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{an}都满足题意．）

【解析】（1）由于 单调递增，可得Ai=2i，Bi=2i+1，即可得出ri=Ai﹣Bi，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，ai≤Ai，Bi≤ai+1，因为ri=Ai﹣Bi=﹣2＜0，可得Ai＜Bi，可得ai≤Ai＜Bi≤ai+1，即ai＜ai+1，根据单调性即可得出Ai=ai，Bi=ai+1，可得ri=ai﹣ai+1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．（3）构造an=n﹣ ，其中bn=n，cn=﹣ ，根据单调性可得：Ai=ai=i﹣ ，Bi=ai+1=i+1﹣ ，ri=ai﹣ai+1=﹣1﹣ ，1≤i≤m﹣1，通过作差证明数列{an}满足题意即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．